אורי נולד בט"ו בשבט תש"ו, בעיר הילוורסום שבהולנד. לאחר שהוריו זכו לאסוף את כל ארבעת ילדיהם חיים ובריאים ממחבואם בשנות השואה, וכן למצוא בחיים גם את שתי בנות חבריהם, הם אספו אל ביתם ואל משפחתם עוד כשלושים יתומים ניצולים. אל בית / מוסד זה נולד התינוק הראשון אחרי השואה והביא לכל הילדים אור תקוה ושמחה.

בשנת 1949 עלתה המשפחה לארץ, ושאר ילדי המוסד עלו עם עלית הנוער אל קרוביהם בארץ, לקיבוצים או למוסדות. לאחר נדודים שונים עברה המשפחה לגור ב"כפר בתיה" בעקבות מנויו של אביו, הרב נתן דסברג, למנהל הכפר. במשך עשרים וחמש שנים חיתה המשפחה בכפר בתיה. משם יצא אורי ללמוד בישיבה התיכונית נחלים, ומשם המשיך ל"מרכז הרב". בשנת תשכ"ז למד במרכז הרב. כבר אז התגלה כתלמיד חכם מעמיק שמשנתו סדורה. בימים של טרום מחשב הוא ארגן כל לימוד, חידוש או נושא בכרטיסיות, ואת כל השיעורים סיכם בהבנה מעמיקה. סיכומים לשיעורים שנתן הרב ז'ולטי במוצאי שבת עברו במשך השבוע בין כל הלומדים ולבסוף ביקשם הרב כדי להוציאם כספר. אורי היה נוכח במסיבה הגדולה ביום העצמאות אשר בה נאמו הרב צבי יהודה, הרב הנזיר הרב ישראלי וה'בחור' חנן פורת. וכמו בכל השיעורים הוא סיכם, לימים התברר שהוא היחיד שהנציח את תוכן הדברים (והביאם לדפוס).

לאחר מלחמת ששת הימים, החליט להתגייס לצבא וחיפש מסגרת ל'הסדר'. לשם כך עבר ל'כרם ביבנה' ולמד שם שלוש שנים. בשנת תשכ"ט נשא לאשה את יהודית לבית גנץ, ובנה את ביתו ב'אבן שמואל'. לאחר מכן עברו לגור בירושלים והרב אורי המשיך ללמוד ב'מרכז' ואחה"צ בכולל שליד 'קרית נוער'. את ההסמכה לרבנות קיבל מהרב ז'ולטי, מהרב ישראלי ומהרב אברהם שפירא.

בשנת תשל"ג נסע עם משפחתו לשליחות בטורונטו לשלוש שנים, וביחד עם חברו הרב יהודה פליקס הם הקימו ישיבה תיכונית ברוח ציונית, ובשנה שלאחריה אולפנה לבנות, כאשר המגמה הייתה שאחרי התיכון כל התלמידים יבואו ללמוד שנה בישראל. זה היה חידוש שהם יזמו.

בשנת תשל"ו חזרו לארץ ובנו את ביתם באלון שבות בגוש עציון, שם גר עם משפחתו עד יומו האחרון - כ' באייר תשע"א. בכ"ג בסיון תשנ"ה נרצחו בתו אפי וחתנו ירון בפגוע ירי בידי מחבלים. מאז מחנכים הרב ואשתו את ילדיהם דביר וישי בביתם באלון שבות.

בשנת תשל"ז התחיל לעבוד באנציקלופדיה התלמודית, שם שקד על הכנת המפתח של הכרכים א-יז. בסיון תשמ"ג עזב את האנציקלופדיה ועבר לעבוד בצומ"ת = צוותי מדע ותורה. שם ניצל את מקוריותו ואת כישוריו הטכנולוגיים בהמצאת פתרונות לחליבה בשבת, ל'חגז' מתקן לכבוי גז ביום טוב, ל'שבעט' עט שהדיו שבה אינו מתקיים אחרי 24 שעות, ולכן ניתן לכתוב בו בשבת לצרכים דחופים של רופאים או משטרה. במסגרת צומ"ת הוא גם ערך את דפי פרשת שבוע 'שבת בשבתו', ואת השנתון ההלכתי 'תחומין'.

בשנת תשמ"ט נקרא שוב ע"י הרב הוטנר לבוא ולרכז את המערכת ואת העבודה באנציקלופדיה. הוא יזם הוצאות לאור של מוצרי משנה לאנציקלופדיה כגון: 'הפרשה בהלכה', הגדה של פסח, אוצר החנוכה, ערכי מסכתות, ועוד.

ביום שלישי כ' באייר תשע"א נהרג הרב דסברג בתאונת דרכים, לאחר שהשלים מסע שורשים ועליה לקברי אבות בהולנד משם חזר באותו בוקר.